文章目录一、 真子集二、 空集三、 全集四、 幂集五、 集合元素个数六、 求幂集步骤一、 真子集真子集 :
描述 :
A , B 两个集合 , 如果
A 集合 是
B 集合的子集 , 并且
A \not= B , 则称
A 是
B 的真子集 ,
B 真包含
A ;
记作 :
A \subset B符号化表示 :
A \subset B\LeftrightarrowA \subseteq B \land A \not= B非真子集 :
描述 :
A 集合 不是
B 集合的真子集 ;
记作 :
A \not\subset B符号化表示 :
A \not\subset B\Leftrightarrow\exist x ( x \in A \land x \not\in B ) \land A \not= B( 存在元素
x 是集合
A 的元素 , 不是集合
B 的元素 , 并且
A , B 不相等 , 则
A 不是
B 的真子集 )
真包含关系 性质 :
反自反性 :
A \not\subset A反对称性 : 如果
A \subset B , 那么
B \not\subset A传递性 : 如果
A \subset B , 并且
B \subset C , 那么
A \subset C二、 空集空集描述 : 没有任何元素的集合 , 称为空集合 , 简称为 空集 ;
记作 :
\varnothing空集示例 :
A = \{ x | x^2 + 1 = 0 \land x \in R \}R 是实数集合 , 上述
x 明显无解 , 集合也为空集 ;
空集定理 : 空集是一切集合的子集 ;
空集推论 : 空集是唯一的 ;
三、 全集全集 : 限定所讨论的集合 , 都是某个集合的子集 , 则称该集合为全集 , 记作
E ;
全集不唯一 : 全集只是相对于讨论问题的范畴 , 不唯一 , 不能讨论范畴之外的情况 ;
全集示例 : 讨论 [0, 1] 区间上的实数性质 , 取全集为 [0, 1] 上的所有实数 ;
( 讨论其它区间的数 , 也可以取其它的区间作为全集 )
四、 幂集幂集描述 :
A 是一个集合 ,
A 集合的全体子集组成的集合 称为
A 的幂集 ;
记作 :
P(A)符号化表述 :
P(A) = \{ x | x \subseteq A \}五、 集合元素个数集合元素个数 :
0 元集 :
\varnothing1 元集 : 含有
1 个元素的集合 , 又称为 单元集 ;
2 元集 : 含有
2 个元素的集合 ;
\vdotsn 元集 : 含有
n 个元素的集合 ; (
n \geq 1 )
有穷集 :
|A| 表示集合
A 中的元素个数 , 如果
A 集合中的元素个数是 有限数 时 , 那么称该
A 集合为有穷集 , 或 有限集 ;
幂集个数定理 : 集合
A 中的 元素个数
|A| = n , 则
A 的 幂集个数
|P(A)| = 2^n ;
六、 求幂集步骤求幂集步骤 : 求 集合
A 的幂集 , 需要按照顺序求
A 集合中 由低到高元的所有子集 , 再将这些子集组成集合 ;
低到高元的所有子集 :
0 元集 ,
1 元集 ,
2 元集 ,
\cdots ,
n 元集 ;
集合
A = \{ a, b , c \}0 元集 :
\varnothing1 元集 :
\{ a \} ,
\{ b \} ,
\{ c \}2 元集 :
\{ a, b \} ,
\{ a, c \} ,
\{ b, c \}3 元集 :
\{ a, b, c \}集合
A 的幂集是 :
P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a, b \} , \{ a, c \} , \{ b, c \} , \{ a, b, c \} \}