下面的内容主要来源于 Matrix67 博客内一篇文章。

文章内有这么一句话：

不断取数字英文表达的字符数，最后总会得到数字 444。

以 111111 为一个栗子，他的英文表达是 eleven。

eleven 有 666 个 字符，666 的英文表达是 six，six有 333 三个字符，333 的英文表达是 three…

我们可以画出 111111 变成 444 的全过程：

111111(eleven)→6\to6→6(six)→3\to3→3(three)→5\to5→5(five)→4\to4→4(four)

你会发现，无论是什么数字，它最终都会变成 444。

人类的古老智慧

如果要证明，你会怎么证明？

其实稍加思索，你会发现其实挺好解释的。

古时候的人们，用一竖代表 111，用两竖代表 222，用三竖代表 333…但他们意识到，写 100010001000 的时候，总不可能写一千个竖吧，于是人们就想到了用特殊符号代表一个数，例如古罗马人就用 V 代表 555，中国人用百代表 100100100。

所以说，将数字写成英文的过程中，字符数一定比原数字要小（对于大部分数字来说，这是对的）。如果你花点时间尝试一下，对于 101010 以内的数字，最后也会变成 444。实际上，444 是唯一一个字符数与数字本身相等的数字。

从英文到其他语言

当然，这种聪明的计数方法并不是英文的权利。世界各国的语言，恐怕没有哪个语言在表示 100001000010000 的时候要写一万个竖吧。

在知名数列网站 oeis.org 数列号 A005589 中的 COMMENTS 一段可以看到这么一句话：

戴安娜·卡洛夫（Diane Karloff）对上面的观察结果的解释：

在许多语言中，都有一个数字 N，在 N 以后所有数字都用比数字本身少的字母书写。N在英语，德语和保加利亚语中为 4，在俄语中为 11。

如果在间隔 [1,N] 中存在等于其字母数的数字，则它们是吸引子。

在英语和德语中，唯一的吸引子是 4，在保加利亚语中是 3，在俄语中是 2、3 和 11。

在区间 [1,N] 中，也可能存在数字循环，例如保加利亚语中的 4（6 个字母）和 6（4 个字母）或俄语的 4、5 和 6（分别为 6、4 和 5 个字母）。英文没有循环，因此上述观察是正确的。

另外，我研究了一下中文（计算其笔画），发现有三个吸引子：一、二和三。以及一个循环：四和五。

数字之和？数字之积？

这让我联想起大概是小学时，曾经试过将数字的每一位求和或求积。

数字之和

不断取数字每一位的和，最后总会小于 101010。

每一位的和，还有一个好听的名字：数字根。

还记得小学学习整除的时候，是怎么判断一个数是否能被三整除的吗？

如果一个数字的每一位的和能被三整除，整个数字就能被三整除。

这个判断法则，我们曾经用过无数遍，加起来是因为数字变小了，数字也更好判断能否被三整除了。可是为什么数字会变小呢？

证明很简单，任何一个数字 nnn 都能写成 (⋯+100a2+10a1+a0)(\dots+100a_2+10a_1+a_0)(⋯+100a2​+10a1​+a0​) 的形式，其中 a0,a1,a2…a_0,a_1,a_2\dotsa0​,a1​,a2​…是 nnn 从右往左的每一位数字。那么每位数字之和为 (⋯+a2+a1+a0)(\dots+a_2+a_1+a_0)(⋯+a2​+a1​+a0​)，我们将每一个对应项进行比较：

a0=a0a_0=a_0a0​=a0​。

a1≤10a1a_1\le10a_1a1​≤10a1​，并且只有当 a1=0a_1=0a1​=0 时 a1=10a1a_1=10a_1a1​=10a1​。

a2≤100a2a_2\le100a_2a2​≤100a2​，并且只有当 a2=0a_2=0a2​=0 时 a2=100a2a_2=100a_2a2​=100a2​。

后面的项以此类推。

所以说，数字 nnn 一定大于等于它的每一位数字之和，并且只有当 a1=a2=⋯=0a_1=a_2=\dots=0a1​=a2​=⋯=0 时相等，此时 n<10n<10n<10。

番外：为什么「如果一个数字的数字根能被三整除，整个数字就能被三整除」

拿上面的 nnn 继续讲，如果你用 nnn 减去它的数字根，你会得到⋯+99a2+9a1\dots+99a_2+9a_1⋯+99a2​+9a1​，而这个大块头一定能被 333 整除，因为它每一项系数全都是九构成的。那么因为 nnn 等于大块头加上它的数字根，如果数字根能被三整除，那 nnn 就能被整除了。

了解更多：A031286 和 A10888。

数字之积

不断取数字每一位的积，最后总会小于 101010。

举个栗子， 728→7×2×8112→1×1×22728\xrightarrow{7\times2\times8}112\xrightarrow{1\times1\times2}27287×2×8​1121×1×2​2。

假设一个数字 nnn 有 mmm 位，它同样可以写成 10m−1am−1+10m−2am−2+⋯+102a2+10a1+a010^{m-1}a_{m-1}+10^{m-2}a_{m-2}+\dots+10^2a_2+10a_1+a_010m−1am−1​+10m−2am−2​+⋯+102a2​+10a1​+a0​ 的形式。此时每位数字之积为 am−1×am−2×⋯×a2×a1×a0a_{m-1}\times a_{m-2}\times\dots\times a_2\times a_1\times a_0am−1​×am−2​×⋯×a2​×a1​×a0​。

注意到数字表达式的第一项 10m−1am−1=am−1×10×⋯×10⎵(m−1)个1010^{m-1}a_{m-1}=a_{m-1}\times\underbrace{10\times\dots\times10}_{(m-1)个10}10m−1am−1​=am−1​×(m−1)个1010×⋯×10​​，将其与每位数字之积对应项进行比较：

am−1=am−1a_{m-1}=a_{m-1}am−1​=am−1​。

am−2<10a_{m-2}<10am−2​<10，因为 am−2a_{m-2}am−2​ 只是一位数字（即 0≤am−2≤90\le a_{m-2}\le90≤am−2​≤9）。

后面的项以此类推。

所以，我们可以知道数字 nnn 一定大于等于它的每一位数字之积，并且只有当 nnn 只有一位数字时相等。

了解更多：A031346 和 A031347。