给定一个群G，以及G的一个子群H，G的一个元素a，集合：
a
H
=
{
a
x
|
x
∈
H
}
{\displaystyle aH=\left\{ax|x\in H\right\}}
称作H关于a的左陪集。a叫做aH的代表元。
类似地，可以定义H关于a的右陪集：
H
a
=
{
x
a
|
x
∈
H
}
{\displaystyle Ha=\left\{xa|x\in H\right\}}
。
可以证明：对于G中的两个元素a、b，
(
a
−
1
b
∈
H
)
⟺
(
a
H
∩
b
H
≠
∅
)
⟺
(
a
H
=
b
H
)
{\displaystyle (a^{-1}b\in H)\Longleftrightarrow (aH\cap bH\neq \varnothing )\Longleftrightarrow (aH=bH)}
。因此aH和bH只有两种关系：相等，或交集为空，即
a
H
=
b
H
{\displaystyle aH=bH}
或者
a
H
∩
b
H
=
∅
{\displaystyle aH\cap bH=\varnothing }
。
于是群G可以被分解成：
G
=
⋃
a
∈
G
a
H
{\displaystyle G=\bigcup _{a\in G}aH}
这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解：
G
=
⋃
a
∈
G
H
a
{\displaystyle G=\bigcup _{a\in G}Ha}
进一步地，可以证明由
a
∼
b
⟺
a
−
1
b
∈
H
{\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H}
所定义的关系是一个等价关系，集合中的每个等价关系都可确定一个等价类，因此每个
a
H
{\displaystyle aH}
是一个等价类。每个
a
H
{\displaystyle aH}
中含有的元素个数是相等的。
此外，群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在同构：
τ
:
a
H
↦
H
a
−
1
{\displaystyle \tau :aH\mapsto Ha^{-1}}
因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的，叫做H对G的指数。
对于一般的H，集合
{
a
H
|
a
∈
G
}
{\displaystyle \left\{aH|a\in G\right\}}
关于子集的积并不是一个群。对于G中的元素a、b，子集的积
a
H
×
b
H
=
a
b
H
{\displaystyle aH\times bH=abH}
，但对于
a
′
∈
a
H
,
b
′
∈
b
H
{\displaystyle a^{\prime }\in aH,b^{\prime }\in bH}
，不一定有
a
′
H
×
b
′
H
=
a
b
H
{\displaystyle a^{\prime }H\times b^{\prime }H=abH}
。群G的正规子群或不变子群H使得
{
a
H
|
a
∈
G
}
{\displaystyle \left\{aH|a\in G\right\}}
关于子集的积是這個群的子群。这时H的左陪集和右陪集是一样的，统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的商群，记作
G
H
{\displaystyle {\frac {G}{H}}}
。商群的目数等于H对G的指数。